Contoh soal bukti tak langsung dengan kontradiksi & pembahasan
Suatu bukti dalam matematika adalah suatu argumentasi yang menunjukkan bahwa suata pernyataan p ⇒ q selalu benar. Ada dua macam bukti dalam matematika yaitu bukti tak langsung dan bukti langsung.
Bukti tak langsung dinamakan bukti dengan kemustahilan yang meliputi bukti tak langsung dengan kontradiksi dan bukti tak langsung dengan kontraposisi.
Untuk membuktikan pernyataan p ⇒ q benar, maka dimulai dengan memisalkan ~ q benar, kemudian tunjukkan suatu kontradiksi dengan p benar atau dengan pernyataan benar lainnya. Dengan demikian haruslah q benar sehingga p ⇒ q benar. Prinsip ini didasarkan pada sifat: "Untuk setiap pernyataan p selalu berlaku p benar atau ~ p benar, tetapi tidak kedua-duanya benar.
Untuk lebih jelasnya. pelajari pembahasan soal dibawah ini.
Gunakan bukti tak langsung dengan kontradiksi dari pernyataan "Untuk setiap bilangan bulat x, jika x2 genap, maka x genap".
Pembahasan
Dalam bentuk p ⇒ q pernyataan di atas berbentuk "Jika x2 genap maka x genap". Atau
p = x2 genap
q = x genap
Pernyataan tersebut dapat dibuktikan sebagai berikut.
Andaikan q salah, atau ~ q benar yaitu "Jika x ganjil maka x2 genap". Misalkan x = 2k, k = bilangan bulat. Maka x2 = (2k)2 = 4k2 = bilangan genap (~p). Terjadilah suatu kontradiksi karena diketahui p benar, sedangkan dari langkah-langkah logis diturunkan ~ p benar. Oleh karena kontradiksi tidak boleh terjadi, maka pengandaian harus diingkar, yang berarti ~ q salah atau q benar. (terbukti apa yang harus dibuktikan)
Bukti tak langsung dinamakan bukti dengan kemustahilan yang meliputi bukti tak langsung dengan kontradiksi dan bukti tak langsung dengan kontraposisi.
Untuk membuktikan pernyataan p ⇒ q benar, maka dimulai dengan memisalkan ~ q benar, kemudian tunjukkan suatu kontradiksi dengan p benar atau dengan pernyataan benar lainnya. Dengan demikian haruslah q benar sehingga p ⇒ q benar. Prinsip ini didasarkan pada sifat: "Untuk setiap pernyataan p selalu berlaku p benar atau ~ p benar, tetapi tidak kedua-duanya benar.
Untuk lebih jelasnya. pelajari pembahasan soal dibawah ini.
Gunakan bukti tak langsung dengan kontradiksi dari pernyataan "Untuk setiap bilangan bulat x, jika x2 genap, maka x genap".
Pembahasan
Dalam bentuk p ⇒ q pernyataan di atas berbentuk "Jika x2 genap maka x genap". Atau
p = x2 genap
q = x genap
Pernyataan tersebut dapat dibuktikan sebagai berikut.
Andaikan q salah, atau ~ q benar yaitu "Jika x ganjil maka x2 genap". Misalkan x = 2k, k = bilangan bulat. Maka x2 = (2k)2 = 4k2 = bilangan genap (~p). Terjadilah suatu kontradiksi karena diketahui p benar, sedangkan dari langkah-langkah logis diturunkan ~ p benar. Oleh karena kontradiksi tidak boleh terjadi, maka pengandaian harus diingkar, yang berarti ~ q salah atau q benar. (terbukti apa yang harus dibuktikan)