Contoh Soal dan Penyelesaian Model Matematika Dari Suatu Program Linear
Model Matematika – Pada postingan sebelumnya kita sama-sama belajar tentang Pengertian Program Linear Dan Model Matematika SMA Kelas 11. Oleh karenanya, Rumus Matematika dasar akan melanjutkan materi tersebut kali ini dengan menghadirkan beberapa contoh soal mengenai model matematika. Model matematika merupakan sebuah rumusan matematika yang didapatkan dari sebuah proses penafsiran sebuah kejadian sehari-hari ke dalam rumus atau bahasa matematika. Agar kalian lebih memahami cara membuat model matematika dari suatu masalah program linear, simaklah contoh-contoh berikut:
Contoh Soal dan Penyelesaian Model Matematika Dari Suatu Program Linear
Contoh Soal 1:
Sebuah pabrik memproduksi dua jenis barang K dan L dengan menggunakan dua buah mesin yaitu G1 dan G2. Untuk memproduksi barang K, mesin G1 harus beroperasi selama 3 menit dan mesin G2 selama 6 menit. Sedangkan untuk memproduksi barang L, mesin G1 harus beroperasi selama 9 menit dan mesin G2 beroperasi selama 6 menit. Mesin G1 dan G2 hanya bisa beroperasi tidak lebih dari 9 jam dalam sehari. Keuntungan bersih yang didapat untuk tiap barang K adalah Rp.350 dan untuk tiap barang L adalah Rp.700.
Cobalah untuk membuat model matematika dari masalah program linear tersebut, apabila diharapkan keuntungan bersih yang sebesar-besarnya.
Penqelesaian:
Keterangan pada soal diatas dapat dituliskan dalam tabel seperti berikut ini:
Barang K | Barang L | Operasi tiap hari | |
Mesin G1 | 3 Menit | 9 Menit | 540 Menit |
Mesin G2 | 6 Menit | 6 Menit | 540 Menit |
Keuntungan | Rp. 350 | Rp. 700 |
Kita misalkan Barang K diproduksi sebanyak p buah dan barang L diproduksi sebanyak q buah, maka:
Waktu operasi yang dibutuhkan untuk mesin G1 = 3p + 9q
Waktu operasi yang dibutuhkan untuk mesin G2 = 6p + 6q
Dikarenakan mesin G1 dan G2 Tidak boleh beroperasi lebih dari 9 jam = 540 menit setiap harinya, maka harus dipenuhi pertidaksamaan berikut ini:
3p + 9q ≤ 540 -> p + 4q ≤ 180
6p + 6q ≤ 540 -> p + q ≤ 90
Perlu diingat bahwa p dan q mewakili banyaknya barang, maka p dan q tidak mungkin bernilai negatif dan nilainya pun harus merupakan bilangan cacah. Sehingga, p dan q harus memenuhi pertidaksamaan di bawah ini:
p ≥ 0, q ≥ 0, dan p dan q ε C
Keuntungan bersih yang di dapat dalam Rupiah = 350p + 700q, dan diharapkan keuntungan bersih tersebut adalah sebesar-besarnya. Jadi model matematika yang dapat dibentuk berdasarkan persoalan di atas adalah:
p ≥ 0, q ≥ 0, p + 4q ≤ 180, dan p + q ≤ 90; p dan q ε C
Dengan bentuk (350p + 700q) sebesar-besarnya.
Contoh Soal 2:
Sebuah pabrik farmasi menyediakan dua jenis campuran L dan M. bahan-bahan dasar yang terkandung dalam setiap Kilogram campuran L dan M dapat dilihat pada tabel berikut ini:
Bahan 1 | Bahan 2 | |
Campuran L | 0,4 Kg | 0,6 Kg |
Campuran M | 0,8 Kg | 0,2 Kg |
Dari campuran L dan M tersebut akan dibuat campuran N. Campuran N tersebut sekurang-kurangnya mengandung bahan 1 sebanyak 4 Kg dan bahan 2 sebanyak 3Kg. Harga setiap Kilogram campuran L adalah Rp. 30.000 dan setiap campuran M adalah Rp. 15.000.
Tentukanlah model matematika dari persamaan di atas jika biaya total untuk membuat campuran N diharapkan bisa semurah-murahnya.
Penyelesaian:
Misalkan campuran N dibuat dari x Kg campuran L dan y Kg campuran M,
Bahan 1 yang terkandung = 0,4x + 0,8y
Karena sekurang-kurangnya mengandung bahan 1 sebanyak 4 Kg, maka harus dipenuhi pertidaksamaan berikut ini:
0,4x + 0,8y ≥ 4 Kg -> x + 2y ≥ 10
Bahan 2 yang terkandung = 0,6x + 0,2y
Karena sekurang-kurangnya mengandung bahan 2 sebanyak 3 Kg, maka harus dipenuhi pertidaksamaan berikut ini:
0,6x + 0,2y ≥ 3 Kg -> 3x + y ≥ 15
Diketahui bahwa x dan y menyatakan jumlah berat campuran sehingga nilainya tidaklah mungkin negative dan harus dinyatakan dalam bentuk bilangan real. Maka dari itu, x dan y diharuskan memenuhi pertidak samaan di bawah ini:
x ≥ 0, y ≥ 0, x dan y ε R
Total biaya yang diperlukan untuk membuat campuran N = 30000x + 15000y dengan biaya total yang diharapkan bisa semurah-murahnya. Maka model matematikanya adalah:
x ≥ 0, y ≥ 0, x + 2y ≥ 10, dan 3x + y ≥ 15; x dan y ε R
Dengan bentuk (30000x + 15000y) sekecil-kecilnya.